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　　【导语】小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件（简称条件），第二部分是所求问题（简称问题）。应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。这里针对小学应用题的问题，总结了全面的知识，希望帮助到您！

数学应用题的教学之一：

　　一、帮助学生养成良好的审题习惯

　　应用的难易不仅取决于数据的多少，往往是由应用题的情节部分和数量关系交织在一起的复杂程度所定。同时题目中的叙述是书面语言，对小学生的理解会有一定的困难，所以解题的首要环节和前提就是理解题意，即审题。审题就要读题，读题必须认真、仔细，通过边读边想掌握题中讲的是什么事情，经过怎样，这就是我们常说的应用题的条件。结果怎样，则是所讲的问题。要想弄清楚题中给定的条件是什么，要求问题是什么?不仅要边读边想，在必要情况下还要借助简单的实物图或线段图来辅助理解，这样能把题目里难以理解的内容或抽象的概念简单化，具体化，把抽象的东西摆在眼前，便于让学生容易理解和掌握其题意。

　　例如，小学二年级课本中有这样一道题：鸡有24只，鸭的只数是鸡的2倍，欢鸡和鸭一共有多少只?题中哪些数据与问题有直接联系，哪些没有直接联系，如果在边读边想基础上再加简单的线段图帮助分析，学生就更容易知道条件是什么，要求的问题是什么了，否则对于抽象概念能力较差的部分学生就难以理解了。实践证明，学生不会解答某一应用题，往往就是对该题的题意不理解或理解不透彻。一旦了解题意，其数量关系也将明了。因此，从这个角度上讲，理解题意就等于解答应用题中完成一半的任务。

　　二、帮助学生掌握正确的解题步骤

　　学虽然概括解题步骤是在学习了复合应用题时才进行的，但在开始应用题教学时就要注意引导学生按正确的解题步骤解答应用题，逐步养成良好的习惯，特别是检查验算和写好答案的习惯。

　　一道题做得对不对，学生要能自我评价，对的强化，不对的反馈纠正，这实际上是一个推理论证的过程。完成列式计算只解决了“怎样解答”的问题，而推理论证是解决“为什么这样解答”的问题。然而很多小学生不善于从已知量向未知量转化，有时又受生活经验的制约无法检验明显的错误，因此，一要教给学生验算的方法，如：联系实际法、问题条件转化法等;还可以先由师生共同完成，然后过渡到在教师指导下学生进行，最后发展成学生独立完成。

　　在教学中还经常遇到学生不重视写答案，只写“是多少”就算完了的现象。答案实际上是很重要的，是一件事情的结束。我们做事强调有好的开端，也得有好的结束，那才是一件完整的事，我们做题就同做工作一样，应该有完美的结束。因此，不仅要使学生重视写答案，还要使学生学会写答案。

数学应用题的教学之二：

　　1.培养学生认真仔细地审题

　　弄明白题意，认真审题是准确解答应用题的先决条件。因此，在教学中可先让学认真审题、读题。俗话说，书读百遍，其意自现。根据解题要求读出题中直接条件和间接条件，构建起条件与问题之间的联系，确定数量关系。审题时还要多多地进行换说法，力求把每一说法的蕴含的运算意义都弄得一清二楚，明明白白，这样不仅能把题目审透彻，而且有利于发展学生思维，为学生打开丰富的解题思路，使学生学会运用不同的方法灵活解题。

　　2.寻找应用题中的数量关系

　　数量关系是指题目中已知条件、未知条件和问题之间，以及它们各自内部之间的相互关系，简单地说，数量关系就是题目中的相等关系。找数量关系就是用“相等”关系来表述题目。有的题目数量关系复杂，需要对已知条件和问题进行全面仔细的分析研究才能找出。只有找出正确无误的数量关系，才能称得上真正理解了题意，才能正确解决应用题。

　　3.教学生分析应用题常用的方法

　　在解题过程中，学生往往习惯于模仿例题的解答方法。因此，教师要教给学生分析应用题的推理方法，帮助学生明确解题思路。常用分析应用题的方法有分析法和综合法，所谓分析法，就是从应用题中欲求的问题出发进行分析，考虑为了解题需要哪些条件，而这些条件哪些是已知的，哪些是未知的，直到未知条件都能在题目中找到为止。

小学数学各类应用题公式大全：

　　1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数

　　2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数

　　3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度

　　4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价

　　5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率

　　6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数

　　7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数

　　8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数

　　9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数

　　小学数学图形计算公式

　　1、正方形C周长S面积a边长

　　周长＝边长×4C=4a

　　面积=边长×边长S=a×a

　　2、正方体V:体积a:棱长

　　表面积=棱长×棱长×6S表=a×a×6

　　体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a

　　3、长方形C周长S面积a边长

　　周长=(长+宽)×2C=2(a+b)

　　面积=长×宽S=ab

　　4、长方体V:体积s:面积a:长b:宽h:高

　　表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2S=2(ab+ah+bh)

　　体积=长×宽×高V=abh

　　5、三角形s面积a底h高

　　面积=底×高÷2s=ah÷2

　　三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高

　　6、平行四边形s面积a底h高

　　面积=底×高s=ah

　　7、梯形s面积a上底b下底h高

　　面积=(上底+下底)×高÷2s=(a+b)×h÷2

　　8、圆形S面积C周长∏d=直径r=半径

　　周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r

　　面积=半径×半径×∏

　　9、圆柱体v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长

　　侧面积=底面周长×高表面积=侧面积+底面积×2

　　体积=底面积×高体积＝侧面积÷2×半径

　　10、圆锥体v:体积h:高s;底面积r:底面半径

　　体积=底面积×高÷3

　　和差问题的公式

　　(和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数

　　和倍问题的公式

　　和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或者和－小数＝大数)

　　差倍问题的公式

　　差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或小数＋差＝大数)

　　植树问题的公式

　　1. 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:

　　⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:

　　株数＝段数＋1＝全长÷株距－1

　　全长＝株距×(株数－1)

　　株距＝全长÷(株数－1)

　　⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:

　　株数＝段数＝全长÷株距

　　全长＝株距×株数

　　株距＝全长÷株数

　　⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:

　　株数＝段数－1＝全长÷株距－1

　　全长＝株距×(株数＋1)

　　株距＝全长÷(株数＋1)

　　2. 封闭线路上的植树问题的数量关系如下

　　株数＝段数＝全长÷株距

　　全长＝株距×株数

　　株距＝全长÷株数

　　盈亏问题的公式

　　(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

　　(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

　　(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

　　相遇问题的公式

　　相遇路程＝速度和×相遇时间

　　相遇时间＝相遇路程÷速度和

　　速度和＝相遇路程÷相遇时间

　　追及问题的公式

　　追及距离＝速度差×追及时间

　　追及时间＝追及距离÷速度差

　　速度差＝追及距离÷追及时间

　　流水问题

　　顺流速度＝静水速度＋水流速度

　　逆流速度＝静水速度－水流速度

　　静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2

　　水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2

　　浓度问题的公式

　　溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量

　　溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度

　　溶液的重量×浓度＝溶质的重量

　　溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

　　利润与折扣问题的公式

　　利润＝售出价－成本

　　利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%

　　涨跌金额＝本金×涨跌百分比

　　折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)

　　利息＝本金×利率×时间

　　税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)

应用题21种类型总结（附例题、解题思路）

　　1、归一问题

　　【含义】

　　在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。

　　【数量关系】

　　总量÷份数＝1份数量

　　1份数量×所占份数＝所求几份的数量

　　另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数

　　【解题思路和方法】

　　先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

　　例1

　　买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？

　　解

　　（1）买1支铅笔多少钱？0.6÷5＝0.12（元）

　　（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）

　　列成综合算式0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）

　　答：需要1.92元。

　　2、归总问题

　　【含义】

　　解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

　　【数量关系】

　　1份数量×份数＝总量

　　总量÷1份数量＝份数

　　总量÷另一份数＝另一每份数量

　　【解题思路和方法】

　　先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

　　例1

　　服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？

　　解

　　（1）这批布总共有多少米？3.2×791＝2531.2（米）

　　（2）现在可以做多少套？2531.2÷2.8＝904（套）

　　列成综合算式3.2×791÷2.8＝904（套）

　　答：现在可以做904套。

　　3、和差问题

　　【含义】

　　已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

　　【数量关系】

　　大数＝（和＋差）÷2

　　小数＝（和－差）÷2

　　【解题思路和方法】

　　简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。

　　例1

　　甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？

　　解

　　甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）

　　乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）

　　答：甲班有52人，乙班有46人。

　　4、和倍问题

　　【含义】

　　已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

　　【数量关系】

　　总和÷（几倍＋1）＝较小的数

　　总和－较小的数＝较大的数

　　较小的数×几倍＝较大的数

　　【解题思路和方法】

　　简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

　　例1

　　果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？

　　解

　　（1）杏树有多少棵？248÷（3＋1）＝62（棵）

　　（2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵）

　　答：杏树有62棵，桃树有186棵。

　　5、差倍问题

　　【含义】

　　已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

　　【数量关系】

　　两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数

　　较小的数×几倍＝较大的数

　　【解题思路和方法】

　　简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

　　例1

　　果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？

　　解

　　（1）杏树有多少棵？124÷（3－1）＝62（棵）

　　（2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵）

　　答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。

　　6、倍比问题

　　【含义】

　　有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。

　　【数量关系】

　　总量÷一个数量＝倍数

　　另一个数量×倍数＝另一总量

　　【解题思路和方法】

　　先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。

　　例1

　　100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？

　　解

　　（1）3700千克是100千克的多少倍？3700÷100＝37（倍）

　　（2）可以榨油多少千克？40×37＝1480（千克）

　　列成综合算式40×（3700÷100）＝1480（千克）

　　答：可以榨油1480千克。

　　7、相遇问题

　　【含义】

　　两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。

　　【数量关系】

　　相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）

　　总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间

　　【解题思路和方法】

　　简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

　　例1

　　南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？

　　解

　　392÷（28＋21）＝8（小时）

　　答：经过8小时两船相遇。

　　8、追及问题

　　【含义】

　　两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。

　　【数量关系】

　　追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）

　　追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

　　【解题思路和方法】

　　简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

　　例1

　　好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？

　　解

　　（1）劣马先走12天能走多少千米？75×12＝900（千米）

　　（2）好马几天追上劣马？900÷（120－75）＝20（天）

　　列成综合算式75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）

　　答：好马20天能追上劣马。

　　9、植树问题

　　【含义】

　　按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。

　　【数量关系】

　　线形植树棵数＝距离÷棵距＋1

　　环形植树棵数＝距离÷棵距

　　方形植树棵数＝距离÷棵距－4

　　三角形植树棵数＝距离÷棵距－3

　　面积植树棵数＝面积÷（棵距×行距）

　　【解题思路和方法】

　　先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。

　　例1

　　一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？

　　解

　　136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）

　　答：一共要栽69棵垂柳。

　　10、年龄问题

　　【含义】

　　这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

　　【数量关系】

　　年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

　　【解题思路和方法】

　　可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。

　　例1

　　爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？

　　解

　　35÷5＝7（倍）

　　（35+1）÷（5+1）＝6（倍）

　　答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，

　　明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。

　　11、行船问题

　　【含义】

　　行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

　　【数量关系】

　　（顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速

　　（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速

　　顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2

　　逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2

　　【解题思路和方法】

　　大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

　　例1

　　一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？

　　解

　　由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时320÷8－15＝25（千米）

　　船的逆水速为25－15＝10（千米）

　　船逆水行这段路程的时间为320÷10＝32（小时）

　　答：这只船逆水行这段路程需用32小时。

　　12、列车问题

　　【含义】

　　这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。

　　【数量关系】

　　火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速

　　火车追及：追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）

　　÷（甲车速－乙车速）

　　火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）

　　÷（甲车速＋乙车速）

　　【解题思路和方法】

　　大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

　　例1

　　一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？

　　解

　　火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。

　　（1）火车3分钟行多少米？900×3＝2700（米）

　　（2）这列火车长多少米？2700－2400＝300（米）

　　列成综合算式900×3－2400＝300（米）

　　答：这列火车长300米。

　　13、时钟问题

　　【含义】

　　就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。

　　【数量关系】

　　分针的速度是时针的12倍，

　　二者的速度差为11/12。

　　通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。

　　【解题思路和方法】

　　变通为“追及问题”后可以直接利用公式。

　　例1

　　从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？

　　解

　　钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以

　　分针追上时针的时间为20÷（1－1/12）≈22（分）

　　答：再经过22分钟时针正好与分针重合。

　　14、盈亏问题

　　【含义】

　　根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

　　【数量关系】

　　一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：

　　参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差

　　如果两次都盈或都亏，则有：

　　参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差

　　参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差

　　【解题思路和方法】

　　大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

　　例1

　　给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？

　　解

　　按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：

　　（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）

　　（2）有多少个苹果？3×12＋11＝47（个）

　　答：有小朋友12人，有47个苹果。

　　15、工程问题

　　【含义】

　　工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

　　【数量关系】

　　解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

　　工作量＝工作效率×工作时间

　　工作时间＝工作量÷工作效率

　　工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

　　【解题思路和方法】

　　变通后可以利用上述数量关系的公式。

　　例1

　　一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？

　　解

　　题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。

　　由此可以列出算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）

　　答：两队合做需要6天完成。

　　16、正反比例问题

　　【含义】

　　两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

　　两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

　　【数量关系】

　　判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。

　　【解题思路和方法】

　　解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。

　　正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

　　例1

　　修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？

　　解

　　由条件知，公路总长不变。

　　原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12

　　现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12

　　比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为300÷（4－3）×12＝3600（米）

　　答：这条公路总长3600米。

　　17、按比例分配问题

　　【含义】

　　所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

　　【数量关系】

　　从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数＝比的前后项之和

　　【解题思路和方法】

　　先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

　　例1

　　学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？

　　解

　　总份数为47＋48＋45＝140

　　一班植树560×47/140＝188（棵）

　　二班植树560×48/140＝192（棵）

　　三班植树560×45/140＝180（棵）

　　答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

　　18、百分数问题

　　【含义】

　　百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。

　　在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。

　　【数量关系】

　　掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：

　　百分数＝比较量÷标准量

　　标准量＝比较量÷百分数

　　【解题思路和方法】

　　一般有三种基本类型：

　　（1）求一个数是另一个数的百分之几；

　　（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；

　　（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

　　例1

　　仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？

　　解

　　（1）用去的占720÷（720＋6480）＝10%

　　（2）剩下的占6480÷（720＋6480）＝90%

　　答：用去了10%，剩下90%。

　　19、“牛吃草”问题

　　【含义】

　　“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

　　【数量关系】

　　草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数

　　【解题思路和方法】

　　解这类题的关键是求出草每天的生长量。

　　例1

　　一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？

　　解

　　草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：

　　（1）求草每天的生长量

　　因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以

　　1×10×20＝原有草量＋20天内生长量

　　同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量

　　由此可知（20－10）天内草的生长量为

　　1×10×20－1×15×10＝50

　　因此，草每天的生长量为50÷（20－10）＝5

　　（2）求原有草量

　　原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100

　　（3）求5天内草总量

　　5天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125

　　（4）求多少头牛5天吃完草

　　因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。

　　因此5天吃完草需要牛的头数125÷5＝25（头）

　　答：需要5头牛5天可以把草吃完。

　　20、鸡兔同笼问题

　　【含义】

　　这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

　　【数量关系】

　　第一鸡兔同笼问题：

　　假设全都是鸡，则有

　　兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

　　假设全都是兔，则有

　　鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）

　　第二鸡兔同笼问题：

　　假设全都是鸡，则有

　　兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

　　假设全都是兔，则有

　　鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

　　【解题思路和方法】

　　解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。

　　例1

　　长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？

　　解

　　假设35只全为兔，则

　　鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）

　　兔数＝35－23＝12（只）

　　也可以先假设35只全为鸡，则

　　兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）

　　鸡数＝35－12＝23（只）

　　答：有鸡23只，有兔12只。

　　21、方阵问题

　　【含义】

　　将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

　　【数量关系】

　　（1）方阵每边人数与四周人数的关系：

　　四周人数＝（每边人数－1）×4

　　每边人数＝四周人数÷4＋1

　　（2）方阵总人数的求法：

　　实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数

　　空心方阵：总人数＝（外边人数）?－（内边人数）?

　　内边人数＝外边人数－层数×2

　　（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

　　总人数＝（每边人数－层数）×层数×4

　　【解题思路和方法】

　　方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

　　例1

　　在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？

　　解

　　22×22＝484（人）

　　答：参加体操表演的同学一共有484人。

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