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2023年考研数学二真题及参考答案解析

一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1.  的斜渐近线为(    )

A.              B.    

C.                D.

【答案】B.

【解析】由已知，则

，

，

所以斜渐近线为.故选B.

2. 函数的一个原函数为（    ）.

A．

B．

C．

D．

【答案】D.

【解析】由已知，即连续.

所以在处连续且可导，排除A，C.

又时，，

排除B.

故选D.

3.设数列满足,当时(    ).

A.是的高阶无穷小           B.是的高阶无穷小

C.是的等价无穷小           D.是的同阶但非等价无

穷小

【答案】B.

【解析】在中，，从而.又，从而

，

所以.故选B.

4. 若的通解在上有界，这（   ）.

A.                B.

C.               D.

【答案】D

【解析】微分方程的特征方程为

若 ，则通解为；

②若，则通解为；

③若，则通解为.

由于在上有界，若，则①②③中时通解无界，若，则①②③中时通解无界，故.

时，若 ，则，通解为，在上有界.

时，若，则，通解为，在上无界.

综上可得，.故选D.

5. 设函数由参数方程确定，则(    ).

A.连续，不存在                           B.存在，在处不连续

C.连续，不存在                          D.存在，在处不连续

【答案】C

【解析】，故在连续.

时，；时，；时，，故在连续.

,

,

故不存在.故选C.

6. 若函数在处取得最小值，则(    )

A.                    B. 

C.                        D.

【答案】A.

【解析】已知，则

，

令，解得

故选A.

7.设函数.若没有极值点,但曲线有拐点,则的取值范围是(    ).

A.                               B.                                    C.[1,2)                                   D.

【答案】C.

【解析】由于没有极值点,但曲线有拐点，则有两个相等的实根或者没有实根，有两个不相等的实根.于是知解得.故选C.

8.  为可逆矩阵，为单位阵，为的伴随矩阵，则

A.                              B.

C.                              D.

【答案】B

【解析】由于

，

故

.

故选B.

9. 的规范形为

A.                 B.                 C.             D.

【答案】B

【解析】

二次型的矩阵为，

，

，故规范形为，故选B.

10.已知向量组 ，若 既可由 线性表示，又可由线性表示，则(    )

A.                                           B.

C.                                D.

【答案】D

【解析】设，则，对关于的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，

，

解得，故

.故选D.

二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.

11．当时，与是等价无穷小，则________.

【答案】

【解析】由题意可知，

，

于是，即，从而.

12. 曲线的孤长为_________.

【答案】

【解析】曲线的孤长为

.

13. 设函数由方程确定，则_________.

【答案】

【解析】将点带入原方程，得.

方程两边对求偏导，得，

两边再对求偏导，得，将代入以上两式，得，.

14. 曲线在对应点处的法线斜率为_________.

【答案】

【解析】当时，.

方程两边对求导，得，将，代入，得

.于是曲线在对应点处的法线斜率为.

15. 设连续函数满足，，则_________.

【答案】

【解析】

.

16.  有解，其中为常数，若 ，则________.

【答案】

【解析】方程组有解，则 ，故.

三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）

设曲线经过点，上任一点到轴的距离等于该点处的切线在轴上的截距，

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)在L上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.

【解】(Ⅰ)曲线在点处的切线方程为，令，则切线在轴上的截距为，则，即，解得，其中为任意常数.

又，则，故.

(Ⅱ)设曲线在点处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为

.

令，则；令，则.

故切线与两坐标轴所围三角形面积为，

则.令，得驻点.

当时，；当时，，故在处取得极小值，同

时也取最小值，且最小值为.

18.（本题满分12分）

求函数的极值.

【解】由已知条件，有

，

.

令，解得驻点为，其中为奇数；，其中为偶数.

，，.

在点处，其中为奇数，

，，，

由于，故不是极值点，其中为奇数.

在点处，其中为偶数，

，，，

由于，且，故为极小值点，其中为偶数，且极小值为

.

19.（本题满分12分）

已知平面区域，

（1）求平面区域的面积.

(2)求平面区域绕一周所形成的旋转体的体积

【解】(1)

.

(2) .

20.（本题满分12分）

设平面区域位于第一象限，由曲线，与直线围成，计算.

【解】

.

21.（本题满分12分）

设函数在上有二阶连续导数.

（1）证明：若，存在，使得；

（2）若在上存在极值，证明：存在，使得.

【证明】(1)将在处展开为

，

其中介于与之间.

分别令和，则

，，

，，

两式相加可得

，

又函数在上有二阶连续导数，由介值定理知存在，使得

，

即.

(2)设在处取得极值，则.

将在处展开为

，

其中介于与之间.

分别令和，则

，，

，，

两式相减可得

，

所以

，

即.

22.（本题满分12分）

设矩阵满足对任意的均有.

(1)求

(2)求可逆矩阵与对角阵，使得.

【解】(1)由，得

，

即方程组对任意的均成立，故

(2),

,

特征值为.

,;

,;

,,

令 ，则

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