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【导语】人生要敢于理解挑战，经受得起挑战的人才能够领悟人生非凡的真谛，才能够实现自我无限的超越，才能够创造魅力永恒的价值。以下是高一频道为你整理的《高一年级数学第一章复习题》，希望你不负时光，努力向前，加油！

　　【一】

　　第Ⅰ卷(选择题共60分)

　　一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)

　　1．已知集合A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{1,3,6,9}，C＝{3,7,8}，则(A∩B)∪C等于()

　　A．{0,1,2,6,8}B．{3,7,8}

　　C．{1,3,7,8}D．{1,3,6,7,8}

　　[答案]C

　　[解析]A∩B＝{1,3}，(A∩B)∪C＝{1,3,7,8}，故选C.

　　2．(09•陕西文)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f(x2)－f(x1)x2－x1<0，则()

　　A．f(3)

　　C．f(－2)

　　[答案]A

　　[解析]若x2－x1>0，则f(x2)－f(x1)<0，

　　即f(x2)

　　∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，

　　∵3>2>1，∴f(3)

　　又f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，

　　∴f(3)

　　3．已知f(x)，g(x)对应值如表.

　　x01－1

　　f(x)10－1

　　x01－1

　　g(x)－101

　　则f(g(1))的值为()

　　A．－1B．0

　　C．1D．不存在

　　[答案]C

　　[解析]∵g(1)＝0，f(0)＝1，∴f(g(1))＝1.

　　4．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是()

　　A．3x＋2B．3x＋1

　　C．3x－1D．3x＋4

　　[答案]C

　　[解析]设x＋1＝t，则x＝t－1，

　　∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1.

　　5．已知f(x)＝2x－1(x≥2)－x2＋3x(x<2)，则f(－1)＋f(4)的值为()

　　A．－7B．3

　　C．－8D．4

　　[答案]B

　　[解析]f(4)＝2×4－1＝7，f(－1)＝－(－1)2＋3×(－1)＝－4，∴f(4)＋f(－1)＝3，故选B.

　　6．f(x)＝－x2＋mx在(－∞，1]上是增函数，则m的取值范围是()

　　A．{2}B．(－∞，2]

　　C．[2，＋∞)D．(－∞，1]

　　[答案]C

　　[解析]f(x)＝－(x－m2)2＋m24的增区间为(－∞，m2]，由条件知m2≥1，∴m≥2，故选C.

　　7．定义集合A、B的运算A*B＝{x|x∈A，或x∈B，且x∉A∩B}，则(A*B)*A等于()

　　A．A∩BB．A∪B

　　C．AD．B

　　[答案]D

　　[解析]A*B的本质就是集合A与B的并集中除去它们的公共元素后，剩余元素组成的集合．

　　因此(A*B)*A是图中阴影部分与A的并集，除去A中阴影部分后剩余部分即B，故选D.

　　[点评]可取特殊集合求解．

　　如取A＝{1,2,3}，B＝{1,5}，则A*B＝{2,3,5}，(A*B)*A＝{1,5}＝B.

　　8．(广东梅县东山中学2009～2010高一期末)定义两种运算：ab＝a2－b2，a⊗b＝(a－b)2，则函数f(x)＝为()

　　A．奇函数

　　B．偶函数

　　C．奇函数且为偶函数

　　D．非奇函数且非偶函数

　　[答案]A

　　[解析]由运算与⊗的定义知，

　　f(x)＝4－x2(x－2)2－2，

　　∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，

　　∴f(x)＝4－x2(2－x)－2＝－4－x2x，

　　∴f(x)的定义域为{x|－2≤x<0或0

　　又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

　　9．(08•天津文)已知函数f(x)＝x＋2，x≤0，－x＋2，x>0，则不等式f(x)≥x2的解集为()

　　A．[－1,1]B．[－2,2]

　　C．[－2,1]D．[－1,2]

　　[答案]A

　　[解析]解法1：当x＝2时，f(x)＝0，f(x)≥x2不成立，排除B、D；当x＝－2时，f(x)＝0，也不满足f(x)≥x2，排除C，故选A.

　　解法2：不等式化为x≤0x＋2≥x2或x>0－x＋2≥x2，

　　解之得，－1≤x≤0或0

　　10．调查了某校高一一班的50名学生参加课外活动小组的情况，有32人参加了数学兴趣小组，有27人参加了英语兴趣小组，对于既参加数学兴趣小组，又参加英语兴趣小组的人数统计中，下列说法正确的是()

　　A．最多32人B．最多13人

　　C．最少27人D．最少9人

　　[答案]D

　　[解析]∵27＋32－50＝9，故两项兴趣小组都参加的至多有27人，至少有9人．

　　11．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝12，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝()

　　A．0B．1

　　C.52D．5

　　[答案]C

　　[解析]f(1)＝f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2)＝12，又f(－1)＝－f(1)＝－12，∴f(2)＝1，

　　∴f(5)＝f(3)＋f(2)＝f(1)＋2f(2)＝52.

　　12．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝g(x)，若f(x)≥g(x)，f(x)，若f(x)

　　A．最大值为3，最小值－1

　　B．最大值为7－27，无最小值

　　C．最大值为3，无最小值

　　D．既无最大值，又无最小值

　　[答案]B

　　[解析]作出F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.

　　第Ⅱ卷(非选择题共90分)

　　二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)

　　13．(2010•江苏，1)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.

　　[答案]－1

　　[解析]∵A∩B＝{3}，∴3∈B，

　　∵a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝－1.

　　14．已知函数y＝f(n)满足f(n)＝2(n＝1)3f(n－1)(n≥2)，则f(3)＝________.

　　[答案]18

　　[解析]由条件知，f(1)＝2，f(2)＝3f(1)＝6，f(3)＝3f(2)＝18.

　　15．已知函数f(x)＝2－ax(a≠0)在区间[0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．

　　[答案](0,2]

　　[解析]a<0时，f(x)在定义域上是增函数，不合题意，∴a>0.

　　由2－ax≥0得，x≤2a，

　　∴f(x)在(－∞，2a]上是减函数，

　　由条件2a≥1，∴0

　　16．国家规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．某人出版了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费为________．

　　[答案]3800元

　　[解析]由于4000×11%＝440>420，设稿费x元，x<4000，则(x－800)×14%＝420，

　　∴x＝3800(元)．

　　三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

　　17．(本题满分12分)设集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，集合B＝{x|x<－1或x>5}，分别就下列条件求实数a的取值范围：

　　(1)A∩B≠∅，(2)A∩B＝A.

　　[解析](1)因为A∩B≠∅，所以a<－1或a＋3>5，即a<－1或a>2.

　　(2)因为A∩B＝A，所以A⊆B，所以a>5或a＋3<－1，即a>5或a<－4.

　　18．(本题满分12分)二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.

　　(1)求f(x)的解析式；

　　(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求a的取值范围．

　　[解析](1)∵f(x)为二次函数且f(0)＝f(2)，

　　∴对称轴为x＝1.

　　又∵f(x)最小值为1，∴可设f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)

　　∵f(0)＝3，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－1)2＋1，

　　即f(x)＝2x2－4x＋3.

　　(2)由条件知2a<1

　　19．(本题满分12分)图中给出了奇函数f(x)的局部图象，已知f(x)的定义域为[－5,5]，试补全其图象，并比较f(1)与f(3)的大小．

　　[解析]奇函数的图象关于原点对称，可画出其图象如图．显见f(3)>f(1)．

　　20．(本题满分12分)一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm与60cm现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪法，才能使剩下的残料最少？

　　[解析]如图，剪出的矩形为CDEF，设CD＝x，CF＝y，则AF＝40－y.

　　∵△AFE∽△ACB.

　　∴AFAC＝FEBC即∴40－y40＝x60

　　∴y＝40－23x.剩下的残料面积为：

　　S＝12×60×40－x•y＝23x2－40x＋1200＝23(x－30)2＋600

　　∵0

　　∴在边长60cm的直角边CB上截CD＝30cm，在边长为40cm的直角边AC上截CF＝20cm时，能使所剩残料最少．

　　21．(本题满分12分)

　　(1)若a<0，讨论函数f(x)＝x＋ax，在其定义域上的单调性；

　　(2)若a>0，判断并证明f(x)＝x＋ax在(0，a]上的单调性．

　　[解析](1)∵a<0，∴y＝ax在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，

　　又y＝x为增函数，∴f(x)＝x＋ax在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数．

　　(2)f(x)＝x＋ax在(0，a]上单调减，

　　设0

　　＝(x1＋ax1)－(x2＋ax2)＝(x1－x2)＋a(x2－x1)x1x2

　　＝(x1－x2)(1－ax1x2)>0，

　　∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，a]上单调减．

　　22．(本题满分14分)设函数f(x)＝|x－a|，g(x)＝ax.

　　(1)当a＝2时，解关于x的不等式f(x)

　　(2)记F(x)＝f(x)－g(x)，求函数F(x)在(0，a]上的最小值(a>0)．

　　[解析](1)|x－2|<2x，则

　　x≥2，x－2<2x.或x<2，2－x<2x.

　　∴x≥2或2323.

　　(2)F(x)＝|x－a|－ax，∵0

　　∴F(x)＝－(a＋1)x＋a.∵－(a＋1)<0，

　　∴函数F(x)在(0，a]上是单调减函数，∴当x＝a时，函数F(x)取得最小值为－a2.

　　【二】

　　一、选择题

　　1．若函数f(x)是奇函数，且有三个零点x1、x2、x3，则x1＋x2＋x3的值为()

　　A．－1B．0

　　C．3D．不确定

　　[答案]B

　　[解析]因为f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，它有三个零点，即f(x)的图象与x轴有三个交点，故必有一个为原点另两个横坐标互为相反数．

　　∴x1＋x2＋x3＝0.

　　2．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)•f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]内()

　　A．至少有一实数根B．至多有一实数根

　　C．没有实数根D．有惟一实数根

　　[答案]D

　　[解析]∵f(x)为单调减函数，

　　x∈[a，b]且f(a)•f(b)<0，

　　∴f(x)在[a，b]内有惟一实根x＝0.

　　3．(09•天津理)设函数f(x)＝13x－lnx(x＞0)则y＝f(x)()

　　A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点

　　B．在区间1e，1，(1，e)内均无零点

　　C．在区间1e，1内有零点；在区间(1，e)内无零点

　　D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点

　　[答案]D

　　[解析]∵f(x)＝13x－lnx(x＞0)，

　　∴f(e)＝13e－1＜0，

　　f(1)＝13＞0，f(1e)＝13e＋1＞0，

　　∴f(x)在(1，e)内有零点，在(1e，1)内无零点．故选D.

　　4．(2010•天津文，4)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()

　　A．(－2，－1)B．(－1,0)

　　C．(0,1)D．(1,2)

　　[答案]C

　　[解析]∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，

　　即f(0)f(1)<0，

　　∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．

　　5．若方程x2－3x＋mx＋m＝0的两根均在(0，＋∞)内，则m的取值范围是()

　　A．m≤1B．0

　　C．m>1D．0

　　[答案]B

　　[解析]设方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两根为x1，x2，则有Δ＝(m－3)2－4m≥0，且x1＋x2＝3－m>0，x1•x2＝m>0，解得0

　　6．函数f(x)＝(x－1)ln(x－2)x－3的零点有()

　　A．0个B．1个

　　C．2个D．3个

　　[答案]A

　　[解析]令f(x)＝0得，(x－1)ln(x－2)x－3＝0，

　　∴x－1＝0或ln(x－2)＝0，∴x＝1或x＝3，

　　∵x＝1时，ln(x－2)无意义，

　　x＝3时，分母为零，

　　∴1和3都不是f(x)的零点，∴f(x)无零点，故选A.

　　7．函数y＝3x－1x2的一个零点是()

　　A．－1B．1

　　C．(－1,0)D．(1,0)

　　[答案]B

　　[点评]要准确掌握概念，“零点”是一个数，不是一个点．

　　8．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为()

　　A．至多有一个B．有一个或两个

　　C．有且仅有一个D．一个也没有

　　[答案]C

　　[解析]若a＝0，则b≠0，此时f(x)＝bx＋c为单调函数，

　　∵f(1)>0，f(2)<0，∴f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点；

　　若a≠0，则f(x)为开口向上或向下的抛物线，若在(1,2)上有两个零点或无零点，则必有f(1)•f(2)>0，

　　∵f(1)>0，f(2)<0，∴在(1,2)上有且仅有一个零点，故选C.

　　9．(哈师大附中2009～2010高一期末)函数f(x)＝2x－log12x的零点所在的区间为()

　　A.0，14B.14，12

　　C.12，1D．(1,2)

　　[答案]B

　　[解析]∵f14＝214－log1214＝42－2<0，f12＝2－1>0，f(x)在x>0时连续，∴选B.

　　10．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为()

　　x－10123

　　ex0.3712.727.3920.09

　　A.(－1,0)B．(0,1)

　　C．(1,2)D．(2,3)

　　[答案]C

　　[解析]令f(x)＝ex－x－2，则f(1)•f(2)＝(e－3)(e2－4)<0，故选C.

　　二、填空题

　　11．方程2x＝x3精确到0.1的一个近似解是________．

　　[答案]1.4

　　12．方程ex－x－2＝0在实数范围内的解有________个．

　　[答案]2

　　三、解答题

　　13．借助计算器或计算机，用二分法求方程2x－x2＝0在区间(－1,0)内的实数解(精确到0.01)．

　　[解析]令f(x)＝2x－x2，∵f(－1)＝2－1－(－1)2＝－12<0，f(0)＝1>0，

　　说明方程f(x)＝0在区间(－1,0)内有一个零点．

　　取区间(－1,0)的中点x1＝－0.5，用计算器可算得f(－0.5)≈0.46>0.因为f(－1)•f(－0.5)<0，所以x0∈(－1，－0.5)．

　　再取(－1，－0.5)的中点x2＝－0.75，用计算器可算得f(－0.75)≈－0.03>0.因为f(－1)•f(－0.75)<0，所以x0∈(－1，－0.75)．

　　同理，可得x0∈(－0.875，－0.75)，x0∈(－0.8125，－0.75)，x0∈(－0.78125，－0.75)，x0∈(－0.78125，－0.765625)，x0∈(－0.7734375，－0.765625)．

　　由于|(－0.765625)－(0.7734375)|<0.01，此时区间(－0.7734375，－0.765625)的两个端点精确到0.01的近似值都是－0.77，所以方程2x－x2＝0精确到0.01的近似解约为－0.77.

　　14．证明方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2.

　　[解析]令f(x)＝(x－2)(x－5)－1

　　∵f(2)＝f(5)＝－1＜0，且f(0)＝9＞0.

　　f(6)＝3＞0.

　　∴f(x)在(0,2)和(5,6)内都有零点，又f(x)为二次函数，故f(x)有两个相异实根，且一个大于5、一个小于2.

　　15．求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出它的简图．

　　[解析]因为x3－2x2－x＋2＝x2(x－2)－(x－2)

　　＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x－1)(x＋1)，

　　所以函数的零点为－1,1,2.

　　3个零点把x轴分成4个区间：

　　(－∞，－1]，[－1,1]，[1,2]，[2，＋∞]．

　　在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值(取精确到0.01的近似值)表：

　　x…－1.5－1－0.500.511.522.5…

　　y…－4.3801.8821.130－0.6302.63…

　　在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示．

　　16．借助计算器或计算机用二分法求方程(x＋1)(x－2)(x－3)＝1在区间(－1,0)内的近似解．(精确到0.1)

　　[解析]原方程为x3－4x2＋x＋5＝0，令f(x)＝x3－4x2＋x＋5.∵f(－1)＝－1，f(0)＝5，f(－1)•f(0)＜0，∴函数f(x)在(－1,0)内有零点x0.

　　取(－1,0)作为计算的初始区间用二分法逐步计算，列表如下

　　端点或中点横坐标端点或中点的函数值定区间

　　a0＝－1，b0＝0f(－1)＝－1，f(0)＝5[－1,0]

　　x0＝－1＋02＝－0.5

　　f(x0)＝3.375＞0[－1，－0.5]

　　x1＝－1＋(－0.5)2＝－0.75f(x1)≈1.578＞0[－1，－0.75]

　　x2＝－1＋(－0.75)2＝－0.875f(x2)≈0.393＞0[－1，－0.875]

　　x3＝－1－0.8752＝－0.9375f(x3)≈－0.277＜0[－0.9375，－0.875]

　　∵|－0.875－(－0.9375)|＝0.0625＜0.1，

　　∴原方程在(－1,0)内精确到0.1的近似解为－0.9.

　　17．若函数f(x)＝log3(ax2－x＋a)有零点，求a的取值范围．

　　[解析]∵f(x)＝log3(ax2－x＋a)有零点，

　　∴log3(ax2－x＋a)＝0有解．∴ax2－x＋a＝1有解．

　　当a＝0时，x＝－1.

　　当a≠0时，若ax2－x＋a－1＝0有解，

　　则Δ＝1－4a(a－1)≥0，即4a2－4a－1≤0，

　　解得1－22≤a≤1＋22且a≠0.

　　综上所述，1－22≤a≤1＋22.

　　18．判断方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1)．

　　[解析]设函数f(x)＝x3－x－1，因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数f(x)＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．

　　取区间(1,1.5)的中点x1＝1.25，用计算器可算得f(1.25)＝－0.30<0.因为f(1.25)•f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5)．

　　再取(1.25,1.5)的中点x2＝1.375，用计算器可算得f(1.375)≈0.22>0.因为f(1.25)•f(1.375)<0，所以x0∈(1.25，1.375)．

　　同理，可得x0∈(1.3125,1.375)，x0∈(1.3125，1.34375)．

　　由于|1.34375－1.3125|<0.1，此时区间(1.3125，1.34375)的两个端点精确到0.1的近似值是1.3，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]精确到0.1的近似解约为1.3.

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