注意:(1)函数的单调性也叫函数的增减性;
(2)注意区间上所取两点x1,x2的任意性;
(3)函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念。
让学生自已尝试写出减函数概念,由两名学生板演。提出单调区间的概念。
设计意图:通过给出函数单调性的严格定义,目的是为了让学生更准确地把握概念,理解函数的单调性其实也叫做函数的增减性,它是对某个区间而言的,它是一个局部概念,同时明确判定函数在某个区间上的单调性的一般步骤。这样处理,同时也是让学生感悟、体验学习数学感念的方法,提高其个性品质。
(四)例题分析
在理解概念的基础上,让学生总结判别函数单调性的方法:图象法和定义法。
2.例2.证明函数在区间(-∞,+∞)上是减函数。
在本题的解决过程中,要求学生对照定义进行分析,明确本题要解决什么?定义要求是什么?怎样去思考?通过自己的解决,总结证明单调性问题的一般方法。
变式一:函数f(x)=-3x+b在R上是减函数吗?为什么?
变式二:函数f(x)=kx+b(k<0)在R上是减函数吗?你能用几种方法来判断。
变式三:函数f(x)=kx+b(k<0)在R上是减函数吗?你能用几种方法来判断。
错误:实质上并没有证明,而是使用了所要证明的结论
例题设计意图:在理解概念的基础上,让学生总结判别函数单调性的方法:图象法和定义法。例1是教材中例题,它的解决强化学生应用数形结合的思想方法解题的意识,进一步加深对概念的理解,同时也是依托具体问题,对单调区间这一概念的再认识;要了解函数在某一区间上是否具有单调性,从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法。严格地说,它需要根据单调函数的定义进行证明。例2是教材练习题改编,通过师生共同总结,得出使用定义证明的一般步骤:任取—作差(变形)—定号—下结论,通过例2的解决是学生初步掌握运用概念进行简单论证的基本方法,强化证题的规范性训练,从而提高学生的推理论证能力。例3是教材例2抽象出的数学问题。目的是进一步强化解题的规范性,提高逻辑推理能力,同时让学生学会一些常见的变形方法。
(五)巩固与探究
1.教材p36练习2,3
2.探究:二次函数的单调性有什么规律?
(几何画板演示,学生探究)本问题作为机动题。时间不允许时,就为课后思考题。
设计意图:通过观察图象,对函数是否具有某种性质作出一种猜想,然后通过推理的办法,证明这种猜想的正确性,是发现和解决问题的一种常用数学方法。
通过课堂练习加深学生对概念的理解,进一步熟悉证明或判断函数单调性的方法和步骤,达到巩固,消化新知的目的。同时强化解题步骤,形成并提高解题能力。对练习的思考,让学生学会反思、学会总结。
(六)回顾总结
通过师生互动,回顾本节课的概念、方法。本节课我们学习了函数单调性的知识,同学们要切记:单调性是对某个区间而言的,同时在理解定义的基础上,要掌握证明函数单调性的方法步骤,正确进行判断和证明。
设计意图:通过小结突出本节课的重点,并让学生对所学知识的结构有一个清晰的认识,学会一些解决问题的思想与方法,体会数学的和谐美。
(七)课外作业
1.教材p43习题1.3A组1(单调区间),2(证明单调性);
2.判断并证明函数在上的单调性。
3.数学日记:谈谈你本节课中的收获或者困惑,整理你认为本节课中的最重要的知识和方法。
设计意图:通过作业1、2进一步巩固本节课所学的增、减函数的概念,强化基本技能训练和解题规范化的训练,并且以此作为学生对本结内容各项目标落实的评价。新课标要求:不同的学生学习不同的数学,在数学上获得不同的发展。作业3这种新型的作业形式是其很好的体现。
(七)板书设计(见ppt)
五、评价分析
有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上,,因此在教学设计过程中注意了:第一.教要按照学的法子来教;第二在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”;第三.强化了重探究、重交流、重过程的课改理念。让学生经历“创设情境——探究概念——注重反思——拓展应用——归纳总结”的活动过程,体验了参与数学知识的发生、发展过程,培养“用数学”的意识和能力,成为积极主动的建构者。
本节课围绕教学重点,针对教学目标,以多媒体技术为依托,展现知识的发生和形成过程,使学生始终处于问题探索研究状态之中,*引趣,并注重数学科学研究方法的学习,是顺应新课改要求的,是研究性教学的一次有益尝试。
【二】
一、设计思路
指导思想
数学是一门具有严密推理能力和抽象概括能力的学科。本课以发展学生思维能力为核心,以学生发展为本,从本班学生的实际出发,培养学生观察能力,探究能力和抽象概括能力。
教材分析
本节课是学生在已知函数概念,并且已经掌握了函数的一般性质和简单的对数运算性质的基础上,进一步研究一类具体函数——对数函数,深化学生对函数概念的理解与认识,使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法,同时也为今后进一步学习函数的知识打下坚实的基础。因此,本节课的内容十分重要,它对知识起到了承上启下的作用。
教学目标
1、知识目标:理解对数函数的定义,掌握对数函数的图像、性质及其简单应用
2、能力目标:通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力,体会数形结合和分类讨论思想,以及从特殊到一般等学习数学的方法,并体会数形结合思想
3、情感目标:通过学习,学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系,构建和谐的课堂氛围,培养学生勇于提问,善于探索的思维品质。
教学重点
通过对对数函数图像的的探究,得出的对数函数图像及其性质,以及图像和性质的简单应用,是本节课的重点。
教学难点
1.底数a的变化对对数函数图像及性质的有较大的影响,是本节课的一大难点。
2.底数不同时,如何比较两个对数的大小是本节课的又一个难点
教学准备
1、认真研究教材,与同课头老师探讨教学思路,听取有经验老师的意见!。
2、精心制作PPT课件和几何画板课件辅助教学。
3、安排学生预习。
教学过程设计
一.复习提问,引入新课
师:对数函数的概念?定义域是什么?
生:一般地,函数,(a>0且a≠1)叫做对数函数,其中定义域是(0,+∞)
师:对数的运算性质有哪些?
生:(1);
(2);
(3).
(4)对数的换底公式
(,且,,且,)
设计思路:从对数函数概念以及对运算性质引出课题,寻找学习最近发展区,为后面研究对数函数的图象和性质埋下了伏笔。
二.性质探究
1.探究一:对数函数的图像
操作1:同指数函数一样,在学习了函数定义之后,我们要画函数的图象。
在同一坐标系内画出函数和的图象。
师:画函数都有哪些步骤呢?
生:列表、描点、连线。
(学生动手画图后,教师利用多媒体演示画图过程)
操作2:继续在同一坐标系中,画出下列函数图像
设计思路:通过描点法在同一坐标画出不同底数函数的图像,既有利于培养学生的动手能力,又有利于学生感知对数函数的图像的变化规律。
2.探究二
师:老师布置学习任务和组织学生探究:
请各小组根据同一坐标系中所画底数不同时对数函数的图像,归纳总结出对数函数具有哪些性质?最终请各小组派代表起来汇报本小组的探究结果。
生:各小组积极探讨,把发现的性质归纳总结,记录下来。其中重点包含(但不限于)如下内容:
v定义域与值域分别是什么
v当底数a变化时,对数函数图像如何变化?
v经过哪个定点?
vy=logax与y=图像有什么关系
v函数的单调性?
v函数的奇偶性?
v函数值何时取正值,何时取负值?
设计思路:小组探究,有利于培养学生合作意识和团队精神;开放式的探究,更有利于培养学生观察能力以及发现问题,提出问题能力。
三.成果展示
师:教师轮流要求各小组派代表展示本组所发现对数函数的所有性质,其它队员可以补充,并对学生的精彩回答加以肯定;如果发现了新问题,鼓励学生继续讨论。
生:
通过学生的观察、探究和发现,以及各组的成果展示,将对数函数的图像性质,归结总结如下(各性质尽可能由学生总结):
图
象
a>1
0<a<1
0
(1,0)
性
质
特
征
定义域
(0,+∞);
值域
R
渐近线
图象都在y轴的右方,以作为渐近线
定点
图象都经过(1,0)点,即x=1时,y=0
底数变化规律
在第一象限,图像从左向右,底数a增大
底数a逆时针增大
奇偶性
对数函数为非奇非偶函数
对称性
y=logax与y=log1/ax图像关于x轴对称
单调性
当a>1时,图象呈上升趋势,
为增函数
当0<a<1时,图像呈下降趋势,为减函数
正负性
当a>1时,若0<x<1,则y<0,若x>1,则y>0;
当0<a<1时,若0<x<1,
则y>0,若x>1,则y<0
师:通过几何画板软件,对部分性质进行验证。
设计思路:通过成果展示,培养学生的团队合作精神,以及抽象概括辐射能和口头表达能力!
探究三:判断下列各对数值的正负,有什么规律?
值为正的有:(1)(2)(3)(4)
值为负的有:(5)(6)(7)(8)
师:根据上述探究,请学生总结规律!
规律总结:设a,b∈(0,1)∪(1,+∞),则logab与0的大小规律是:
(1)当a,b同时大于1或同小于1时,logab>0;
(2)当a,b一个大于1另一个小于1时,logab<0。
设计思路:进一步激发学生的问题意识和探索精神,培养学生的概括能力。
四.性质应用
例1.求下列函数的定义域:
(1);(2);.
分析:此题主要利用对数函数的定义域(0,+∞)求解.
解:(1)由>0得,∴函数的定义域是;
(2)由得,∴函数的定义域是;
设计意图:加强学生对定义域的理解
例2:比较下列各组中两个数的大小:
(1);;
.
.
解:考查对数函数,因为它的底数2>1,所以它在(0,+∞)上是增函数,于是.
考查对数函数,因为它的底数0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是.
当时,在(0,+∞)上是增函数,于是;
当时,在(0,+∞)上是减函数,于是
练习1:比较下列各组对数的大小
(1)log27与log37;
(2)
(3)
(4)log3π与log20.8
解:(1)、(2)如图log27>log37,
(3)log67>log66=1
log76<log77=1
∴log67>log76
(4)log3π>log31=0
log20.8<log21=0
∴log3π>log20.
归纳总结:比较两个对数式的大小的方法
a)底数相同:可由对数函数的单调性直接进行判断.
b)底数不同,真数相同:可用不同底时图像的高低性判断.(也可用换底公式)
c)底数、真数都不相同:常借助1、0、-1等中间量进行比较
d)底数不确定时,必须讨论
e)灵活运用公式,将等价转化后再比较
设计意图:加强学生对函数的图像及性质的的理解,并渗透数形结合思想。
五.拓展提高
思考:在同一个坐标内分别作出下列函数图象
(1)y=2x和y=log2x(2)y=0.5x和y=log0.5x
师:从图象中你能发现两个函数的图象间有什么关系?
生:函数y=ax与y=logax图象关于y=x对称
师:推广,函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)图象关于y=x对称
设计意图:拓展知识,进一步理解反函数的概念
六、课堂小结
1.正确理解对数函数的定义;
2.掌握对数函数的图象和性质;
3.能利用对数函数的性质解决有关问题。
4.比较两个对数式的大小关系的哪些方法。
本文来源:http://www.scabjd.com/wendang/23974/